Журнал "1 сентября"

Типы чертежей в геометрии

Автор: Гайворонская Ольга Ивановна, к.п.н.

ГАПОУ СО «УОР № 1 (колледж)», Екатеринбург

Аннотация: В статье рассматривается вопрос классификации чертежей геометрии и роль каждого типа чертежа при решении задач. 

Ключевые слова: геометрия, чертёж, метрический чертёж, топологический чертёж.  

Тематическая рубрика: Средняя школа, СПО. 

Типизацию чертежей можно делать по различным основаниям. Мы сделаем такую типизацию по линии: чертежи топологические – чертежи метрические. Всего выделим три типа таких чертежей. Для каждого типа опишем, зачем он нужен при решении задачи. 

1. Полностью топологический чертеж. Топология исследует местоположение геометрических объектов (точек) относительно друг друга. Поскольку все остальные объекты геометрии состоят из точек, то мы будем рассматривать взаимное расположение не только точек, но и прямых, отрезков и углов. Например, при изображении высоты в треугольнике точка основания высоты может быть по одну или другую сторону вершины треугольника, сама высота при этом находится внутри или вне треугольника. 

Таким образом, требования к топологическому чертежу самые минимальные. В нем должны быть верно отображены топологические факты, к которым относятся, например, факт смежности или вертикальности углов, факт наличия общего элемента, диагонали, пересечения и некоторые другие. Никакие метрические соотношения в таком чертеже не имеют значения. 

Топологический чертеж обычно является первым вариантом чертежа к задаче. На нем отслеживается правильная расстановка обозначений и наличие всех указанных в тексте задачи геометрических объектов. Не всегда легко нарисовать топологически верный чертеж. Некоторые дети не могут нарисовать его даже в достаточно простом случае. В статье автора Осмысленное чтение текстов на уроках геометрии», опубликованной в журнале «1 сентября», описаны некоторые методические приемы, позволяющие научить детей рисовать топологические чертежи. Топологический чертеж, чаще всего, рисуется не по линейке, а «от руки» и может перерисовываться несколько раз. Иногда топология чертежа зависит от заданных величин. 

Для записи полученного решения, в принципе, топологического чертежа вполне достаточно. Однако, практически всегда, получить само решение по чисто топологическому чертежу бывает затруднительно.  

2. Смешанный метрически-топологический чертеж. Метрический чертеж в отличие от топологического чертежа учитывает не только месторасположение, но и размеры элементов. В смешанном чертеже учитываются точные и сравнительные размеры отдельных элементов. По сути, на этом чертеже точно должны быть видны перпендикулярности (угол равен 90гр.); равенства углов, которое либо прямо задано в задаче, либо через такой факт, как биссектриса; равенства отрезков, которые тоже либо прямо заданы в условии задачи, либо косвенно (середина, равнобедренный треугольник и прочее). Еще один факт – это параллельность. 

Такой чертеж нужно рисовать уже аккуратно и по линейке, добиваясь того, чтобы все указанные в задаче факты (особые фигуры, параллельности, перпендикулярности, высоты, биссектрисы и прочее) были ясно видны «на глаз». Конечно, в некоторых ситуациях такой чертеж приходится рисовать без линейки и угольника (ЕГЭ), но и там нужно стараться максимально точно отразить факты условия. Для этого можно, например, использовать лист бумаги, который позволяет ровно проводить прямые и рисовать перпендикуляры. Биссектрисы можно точно рисовать, строя на сторонах угла равнобедренный треугольник и деля его основание пополам. Понятно, что вспомогательные линии и точки нужно рисовать еле заметными, чтобы они не «захламляли» чертеж. Если на ЕГЭ приходится все рисовать ручкой, то линии проводить не нужно – их заменят маленькие точки и другой лист бумаги, край которого заменит нужный отрезок. Этот отрезок потом просто сгибается пополам.  

Нужно отметить, что очень полезно, практически, необходимо наложить еще одно дополнительное требование к такому типу чертежей. Нужно перерисовывать чертеж заново до тех пор, пока с него не исчезнут все «лишние» факты. «Лишними» фактами обычно бывают равенства отрезков, равенство углов, перпендикулярности, параллельности. Если какой-то из таких фактов можно убрать с чертежа, не нарушая при этом факты условия задачи, то его нужно убирать, так как он является ложным. Например, к задаче «Два отрезка пересекаются в точке, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что треугольники равны». Можно сделать несколько чертежей.

Ясно, что три первых из них имеют «лишние» (ложные) факты. Кстати, дети чаще всего рисуют к этой задаче первый или третий чертеж. Совершенно ясно, что ложные факты при решении задачи могут увести в тупик. Часто пытаются доказать именно ложный факт, что, понятно, невозможно. Кроме того, при попытках убрать с чертежа некоторые факты, можно специально следить за тем, какой факт не убирается. Например, в приведенных выше чертежах невозможно убрать факт параллельности. Часто это бывает подсказкой в решении задачи. Работой (обучением) по устранению лишних фактов нельзя пренебрегать, так как убрать лишние факты часто бывает не так просто. Иногда, стремясь убрать один факт, не замечают, что добавляют другой лишний факт, которого не было на первоначальном чертеже. О том, что эта работа достойна внимания, говорит тот факт, что в экзамене ОГЭ есть задание на поиски ложных и истинных утверждений. По сути, рисование «контрпримеров» для решения этой задачи и есть процесс попытки убрать с чертежа исследуемый факт. 

Этот тип чертежей является основным для решения задач. Его обычно чертят и для задачи «Доказать», и для задачи «Найти». Иногда, конечно, для решения достаточно чисто топологического чертежа.  

3. Полностью метрический чертеж. Если чертеж второго типа не позволяет решить задачу, то можно попытаться «подтолкнуть» мысль через рисование полностью метрического чертежа. То есть нужно начертить чертеж с соблюдением всех размеров. Углы рисовать по транспортиру, а отрезки по линейке. В большинстве случаев придется пользоваться масштабной линейкой, так как нарисовать сторону в 24 см проблематично, а вот в 24 клеточки проще. Рисование полностью метрического чертежа, по сути, является решением задачи на построение циркулем и линейкой, просто заданные элементы рисуются не произвольно, а по точным размерам. На таком чертеже можно сделать прямые измерения всех элементов, а это может помочь в поиске плохо различимых фактов. Например, бывает трудно заметить даже на хорошем смешанном метрически-топологическом чертеже равные углы, расположенные в разных местах. Если же сделать измерения, то близкие значения величин могут натолкнуть на мысль об равенстве элементов. Так же по числам легче увидеть такие связи, как «в несколько раз». 

Такие чертежи можно рисовать даже на ЕГЭ и ОГЭ. Углы в 30, 45 и 60 градусов легко получить сгибанием прямого угла листа, а они чаще всего используются в задачах, так как большинство закономерностей связано именно с ними. Понятно, что в этом случае можно получить и другие углы в 90,120,135 и 150 градусов. Масштабную линейку легко создать, нарисовав на одном листе какой-нибудь подходящий единичный отрезок, а затем отложить его достаточное количество раз по краю другого листа. Вместо циркуля можно использовать либо край листа, либо вторую ручку. Иногда (и не так уж и редко) по такому чертежу можно просто получить приблизительный ответ, а поскольку в заданиях ОГЭ и ЕГЭ первой части ответы бывают достаточно «хорошими» – целыми числами или несложными десятичными дробями, то так можно получить правильный ответ. Нужно сказать, что получение ответа таким образом говорит о том, что ребенок понимает две основные идеи геометрии – измерения и жесткость фигур. Третья основная идея – математическая логика здесь не используется. 

Исходя из этого пункта, становится понятным, насколько важно научиться решать задачи построения циркулем и линейкой. Не только понять принцип, но и получить достаточный опыт в решении таких задач.  

Исходя из важной роли каждого чертежа в решении задачи, можно сказать, что умение рисовать чертежи должно приобретаться ребенком на практике. Автор разработал некоторые методики обучения рисованию разных типов чертежей. Однако описание их выходит за рамки этой статьи. Увлечение же решением задач «по готовым чертежам» (а такие пособия есть и популярны) препятствует использованию учеником приемов поиска решения задач, связанных с работой с чертежом.