План-конспект открытого урока "Решение показательных уравнений"
План-конспект открытого урока "Решение показательных уравнений"
Автор: Гадаева Людмила Константиновна
ГАПОУ "Северо-Кавказский аграрно-технологический колледж"
Цели урока:
Образовательные:
· Обобщить ранее изученные методы решения показательных уравнений
· Познакомить обучающихся с методом решений показательных уравнений путем введения новых переменных
Развивающие: развивать познавательный интерес к предмету, закреплять умения и навыки, развивать логическое мышление, умения самостоятельно работать.
Воспитательные: прививать желание иметь прочные знания, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Оборудование: таблица, доска, цветные мелки.
Тип урока: комбинированный.
Оформление: эпиграф:
Пифагор когда-то сказал: «Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать».
“Уравнение представляет собой наиболее серьезную и важную вещь в математике”, - О. Лондж.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие, сообщение обучающимся темы и цели урока.
Здравствуйте! Очень приятно видеть на уроке наших гостей и вас, ребята. Надеюсь, вы как всегда, будете работать в полную силу. Обстановка на уроке будет доброжелательная, можно ошибаться, сомневаться, но давайте дадим себе установку- разобраться со всеми допущенными ошибками и уйти с урока с прочными знаниями. Желаю всем удачи.
Владимир Мономах поучал: «Не забывайте того хорошего, что вы умеете, а чего не умеете, тому научитесь». Так давайте сегодня учиться тому, чего не умеете. Работать будем, как и всегда по принципу: «Знаю – хочу узнать – узнал».
2. Актуализация опорных знаний.
Устно:
1. Какая функция называется показательной?
2. Назвать область определения и область значения показательной функции.
3. Что называется корнем уравнения?
4. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными: y = 3; y = x; y = 6x; y = x5.
5. Пересечет ли прямая у = -2 график функции у = 4х?
6. Что является графиком функции
7. Сравнить числа 3,73 и 1.
3. Математический диктант.
Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”.
1. Является ли убывающей функция y =3x.
2. Является ли возрастающей функция y = (0,2)x
3. Является ли показательным уравнение 2x * 3x = 36?
4. Верно ли, что областью определения показательной функции является вся числовая прямая?
5. Верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?
6. Верно ли, что если b>0, то уравнение ax = b имеет один корень,
7. Верно ли, что если b=0, то уравнение ax = b не имеет корней
8. Является ли число 4 корнем уравнения 2x = 16
9. Является ли число 3 корнем уравнения 0,3x = 0,27.
4. Изложение нового материала.
Урок я хочу начать притчей: «У крестьянина перестал работать трактор. Все попытки крестьянина и его соседей починить машину были напрасны. Наконец он позвал специалиста. Тот осмотрел трактор, попробовал, как действует стартер, поднял капот и все тщательно проверил. Затем взял молоток, прицелился, один раз ударил по мотору и привел его в действие. Мотор затарахтел, будто он и не был испорчен. Когда мастер подал крестьянину счет, тот, удивленно взглянув на него, возмутился: — Ты хочешь сто монет только за один удар молотком?! — Дорогой друг, – ответил мастер, – за удар молотком я запросил только одну монету, а остальные девяносто девять монет я беру с тебя за мои знания, благодаря которым я исправил поломку, сделав всего лишь один удар по нужному месту.»
(Вопрос: как вы думаете для чего мы начали наш урок с этой притчи?)
Вот и вам сегодня нужно воспользоваться своими знаниями и применить их на практике.
Так как показательная функция y = ах монотонна и ее область значений – множество всех положительных действительных чисел, то простейшее показательное уравнение ах=b имеет корень при b >0. Именно к виду ах=b надо сводить более сложные уравнения.
“У всякого метода всегда есть решение – простое, удобное и, конечно, ошибочное”. Генри Луис Менкен
Давайте, используя разные методы, те знания, которые мы получили ранее, научимся решать более сложные показательные уравнения. Вспомним как применялись эти методы на примерах:
1.Простейшие уравнения: (устно)
а) 4х = 64
Приводим обе части к общему основанию: 4х = 43
Данное уравнение равносильно уравнению: х = 3
Ответ: 3.
б) 5х = -25
Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.
4х+1 + 4х = 320
4х ⋅ 4+ 4х = 320
4х(4+ 1) = 320
4х =320:5
4х = 64
4x= 43
х = 3
Ответ: х=3.
3. Графический метод.
Решить уравнение: 3х = 4-х
В одной координатной плоскости строят графики функций у = 3х и у = 4-х
Решение: функция y = 3x - возрастает на R, а функция y = 4-x – убывает на R => у них не более одной точки пересечения. Это точка A (1;3).
Проверка: х = 1, 31 = 4-1, 3 = 3 (верно)
Ответ: х = 1.
А теперь мы познакомимся еще с одним методом решения показательных уравнений – метод введения новых переменных.
4. Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.
36х – 4⋅6х - 12 = 0
(6x)2 - 4⋅6x – 12 = 0
Пусть 6х = y, тогда уравнение примет вид :
y2 – 4y - 12 = 0
Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:
y1 = - 2, y2 = 6
Если y1 = - 2, то 6х = - 2, нет решения.
Если y2 = 6, то 6х = 6, х = 1
Ответ: х = 1.
5.Однородные показательные уравнения второй степени.
6 4х – 13 6х + 6·9х = 0
6 (2х)2 – 13 ·2х 3х +6· 32х = 0
Так как 32х 0, то разделим обе части уравнения на 32х, тогда получим
Путь , тогда получим уравнение 6k2 – 13k + 6 = 0
D = 132 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25>0, квадратное уравнение имеет два корня.
Возвращаемся в свою подстановку:
Ответ: х1 = 1, х2 = -1.
5. Закрепление изученного материала
Пафнутий Чебышев говорил: «Теория без практики мертва и бесплодна, а практика без теории бесполезна и пагубна». (портрет ученого вывешивается на доску).
И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений. На доске написаны 3 уравнения:
К доске выходят решать эти уравнения обучающиеся.
Решить самостоятельно.
Итог урока. Выставление оценок.
Итак, сегодня мы повторили тему «Показательная функция и ее свойства», научились решать показательные уравнения различными способами.
