Использование инновационных методов в преподавании математики при изучении параллельности прямых
Использование инновационных методов в преподавании математики при изучении параллельности прямых в геометрии Евклида, Римана и Лобачевского
Автор: Хатина Ольга Григорьевна
ГБОУ "Школа № 217 имени Н.А. Алексеева Красносельского района Санкт-Петербурга "
Аннотация: Неевклидова геометрия, завоевав прочное место в науке, завоевывает его теперь в общем образовании широких кругов. Интерес к ней возрастает из года в год. Геометрия Лобачевского увлекает своим необычным строением, но не менее увлекательна и история ее открытия. Возникшая два тысячелетия назад неразрешимая проблема параллельных линий, многовековые попытки «очистить Евклида от всяких пятен», сознание безнадежности этих попыток, робкие зачатки новой геометрии у предшественников Н.И.Лобачевского и, наконец, рождение неевклидовой геометрии – все это отражение нашло отражение в моей исследовательской работе.
Ключевые слова: Евклид, V постулат, параллельные прямые, Риман, Лобачевский.
Когда полюбишь формул сочетанье –
Сухие цифры сразу оживут.
В них творчество, романтика, дерзанье,
Народов опыт и тяжелый труд.
И откровеньем станет теорема,
Светло и ярко открывая даль.
И каждая задача – как поэма,
Которой сердце отдавать не жаль …
При изучении геометрии Евклида в школе встает вопрос, а существует ли другая геометрия? Существует. Подтверждения этому можно найти в примерах истории. Так химия выросла из алхимии, а квантовой физике предшествовала физика Ньютона. Геометрия - не исключение. Ученикам всегда было интересно, а почему аксиомы принимаются без доказательства, ведь прошло много веков с тех пор, когда мир принял эти утверждения. Наука не стоит на месте, происходит бурное развитие технического прогресса, огромные потоки информации захлестывают наши умы! А многие геометрические утверждения остаются практически неизменными. Поэтому я решила более подробно остановиться на рассмотрении пятого постулата Евклида. В результате ученики знакомятся с нестандартной геометрией, а именно, геометрией Лобачевского и Римана.
Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать. Современная наука приходит к пониманию, что Евклидова геометрия – лишь частный случай геометрии Лобачевского, и что в реальный мир точнее описывается именно формулами русского ученого. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Была установлена связь геометрии Лобачевского с физикой, а именно кинематикой – специальной (частной) теории относительности. Геометрия Лобачевского используется в астрономии при описании голографической Вселенной или черных дыр.
Рассматривая этот вопрос, ученики узнают, что любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая.
На уроке мы выдвинули гипотезу, что существует ли неевклидова геометрия и ее отличия от школьной. Нам стала интересна ее история возникновения. Кстати, есть парадоксальная точка зрения – неевклидову геометрию придумал сам Евклид. Основана она на том, что он самокритично считал свой 5-й постулат неочевидным, поэтому большую часть своих теорем доказал, не прибегая к нему. Фраза «какая геометрия лучше» лишена смысла. Мы бы сказали: геометрия Эвклида малых расстояний. Геометрия Лобачевского расстояний космоса.
Актуальность изучения геометрии в пространстве Евклида и Римана состоит в том, что новые результаты чаще всего появляются благодаря поиску аналогий различных утверждений. Зачастую аналог даже элементарной задачи геометрии Евклида оказывается далеко нетривиальным в неевклидовой геометрии. В то же время получаемые результаты оказываются красивыми и интересными.
На уроках мы ставим перед собой задачу: узнать о существовании других теорий геометрий, провести параллель между геометрией древнегреческого математика Евклида и русского математика Лобачевского и немецкого математика, механика и физика Римана.
Объектами нашего исследования стали теоремы, аксиомы и чертежи. В то же время, неевклидова геометрия является важной частью математики и активно используется в самых разных ее областях.
Проблемы исследования: почему возникла неевклидова геометрия? Реальна ли неевклидова геометрия в смысле соответствия физическому пространству? Существует ли поверхность, на которой справедлива эта геометрия? В чём заключаются различия двух геометрий?
Главная идея этой работы – найти сходство и различия двух геометрий (евклидовой и неевклидовой), убедиться в непротиворечивости неевклидовой геометрии.
Литература:
1. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пединститутов. - М., «Просвещение» 1975.
2. Игошин В.И. Основания геометрии – Саратов, «Научная книга», 2004.
3. Игошин В.И. Векторная алгебра – Саратов, «Научная книга», 2005.
4. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории – М., «Просвещение», 1968.
5. Метод аксиоматический – В кн. «Философская энциклопедия», т. 3 – М Сов. Энциклопедия, 1964.
