Методика решения геометрических задач на построение в 8-9 классах
Методика решения геометрических задач на построение в 8-9 классах
Автор: Алиева Химисай Магомедганифаевна
ГБОУ "Республиканский физико-математический лицей-интернат", г. Владикавказ
Аннотация: В этой статье рассматриваются общие аксиомы конструктивной геометрии, а также описана методика решения геометрических задач на построение в 8-9 классах. Изучение основ конструктивной геометрии на плоскости способствует формированию у школьников логического и пространственного мышления, создает условия для систематизации геометрических знаний.
Ключевые слова: задачи на построение, геометрия.
Тематическая рубрика: Средняя школа, СПО.
Одной из тем школьного курса геометрии является тема «Геометрические построения на плоскости». При этом рассмотрение этой темы вызывает затруднения, как у обучающихся, так и у начинающего учителя. Поэтому приобретение прочных знаний по указанной теме и конкретных навыков по решению конструктивных задач занимает важное место в профессиональной подготовке будущего учителя.
Задачи на построение отличаются широкими возможностями выбора методов их решения, разнообразными приложениями в практической деятельности, богатыми межпредметными и внутрипредметными связями; приобщают учащихся к посильным самостоятельным исследованиям; способствуют пониманию происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования; связаны практически со всеми разделами школьного курса геометрии, что позволяет использовать их как средство повторения, обобщения и систематизации изученного геометрического материала. Поэтому на протяжении многих лет они вызывают интерес ученых-методистов.
Задача на построение - это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений). Решение таких задач состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.
Геометрические задачи на построение относятся к наиболее древним задачам. Несмотря на то, что в современное время развития компьютерных технологий любое построение можно быстро и точно построить при помощи компьютера, однако основным методом для построения по-прежнему остается построение при помощи циркуля и линейки.
Часто в геометрии для того, чтобы осуществить вычисления и провести доказательства следует выполнить дополнительные построения. Разумеется, что все построения могут быть просто описаны. Однако, для того, чтобы быть уверенными следует выполнить дополнительные построения. Важно также и то, что определение геометрических понятий и объектов должно сопровождаться доказательствами их существования. Конструктивный метод является основным методом доказательства существования того или иного объекта в геометрии. Данный метод заключается в построении требуемого объекта с доказательством, что построенный объект соответствует требуемым условиям. Сложности в решении задач на построение у обучающихся связаны с тем, что данные задачи не имеют четкого алгоритма решения, а также с тем,
Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру. Это понятие принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).
Аксиомами А1 – А6 пользуются при решении задач с использованием любых средств построения. В классической теории геометрических построений на плоскости (и в школьном курсе геометрии) допустимыми средствами построения являются циркуль и линейка. При этом имеется в виду идеальные циркуль и линейка (без делений). Конструктивные возможности этих абстрактных инструментов опять-таки указываются в аксиомах.
Существует целый ряд геометрических задач на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных задач. Задачи такого рода рассматриваются уже в первых главах школьного курса.
Перед обучением школьников решению геометрических задач на построение в 8-9 классах следует повторить с ними алгоритмы выполнения элементарных построений, а именно:
1. Построение отрезка, равного данному.
2. Деление отрезка пополам.
3. Построение угла, равного данному.
4. Построение биссектрисы угла.
5. Построение серединного перпендикуляра к данной прямой.
Решение каждой задачи на построение на первых порах следует сопровождать четким алгоритмом. Далее обучающиеся будут и сами ориентироваться в последовательности выполнения построений.
Также с обучающихся следует познакомить с условными обозначениями, которые понадобятся в процессе записи алгоритма. Например, запись означает, что на прямой l произвольно выбирается точка А. Запись означает, что строится первая окружность с центром в точке А и радиусом, равным b. Запись означает, что первая окружность пересекается с прямой l в точке С.
Приведем несколько алгоритмов по решению задач на построение в курсе геометрии 8-9 классов.
Задача 1. Построение треугольника по трем сторонам.
Дано: отрезки длины a, b, c.
Построить: треугольник ABC.
Построение треугольника ABC включает в себя следующие этапы:
1. A ϵ l
2. ω1 (A, b)
3. ω1 ∩ l ≡ C
4. ω2 (A, c)
5. ω3 (C, a)
6. ω2 ∩ ω3 ≡ B
7. ∆ABC – искомый (рис. 1)
Рисунок 1. Рисунок к задаче 1.
Задача 2. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано: отрезки длины b, c, угол a.
Построить: треугольник ABC.
Построение треугольника ABC включает в себя следующие этапы:
1. A ϵ l
2. ω1 (A, b)
3. ω1 ∩ l ≡ C
4. ∠CAK = a
5. ω2 (A, c)
6. ω2 ∩ AK ≡ B
7. ∆ABC – искомый (рис. 2)
Рисунок 2. Рисунок к задаче 2.
Задача 3. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.
Дано: отрезок длины c, угол a.
Построить: прямоугольный треугольник ABC.
Построение треугольника ABC включает в себя следующие этапы:
1. A ϵ l
2. ∠lAK = a
3. ω2 (A, c)
4. ω ∩ AK ≡ B
5. B ϵ a ⊥ l
6. a ∩ l ≡ C
7. ∆ABC – искомый (рис. 3)
Рисунок 3. Рисунок к задаче 3.
Итак, для успешного обучения школьников решению задач на построение следует:
1. Повторить с ними аксиомы конструктивной геометрии.
2. Повторить алгоритм выполнения элементарных построений.
3. Научить выполнять построения по алгоритму, а также составлять алгоритм выполнения геометрических построений самостоятельно.
4. Познакомить с условными обозначениями.
5. Последовательно выполнять этапы решения задач.
Список литературы:
1. Блинков А.Д., Блинков Ю.А. Геометрические задачи на построение. – 2-е изд., стереот. – М.: МЦНМО, 2012.− 152 с.
2. Горшкова Л.С., Марина Е.В. Геометрические построения: Учебное пособие для студентов и преподавателей педагогических вузов.‒ Пенза: Изд-во ПГПУ имени В.Г.Белинского, 2008 – 140 с.
3. Егупова М.В. Методическая система подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе. Монография. – М.: МПГУ, 2014. – 220 с.
4. Методы решения конструктивных задач на плоскости/ Сост. К.Ш. Рамазанова, Н.В. Тимербаева. – Казань: Казанский федеральный университет, 2013. – 70 с.
5. Щербакова Т.С. Элементы конструктивной геометрии в школьном курсе математики // Вестник науки. - 2020. - №12 (33). – С. 48-50.
